Regular Paper

Korean Journal of Optics and Photonics. December 2020. 328-333
https://doi.org/10.3807/KJOP.2020.31.6.328

ABSTRACT


MAIN

  • I. 서 론

  • II. 본 론

  •   2.1. Korsch 망원경 광학계 사양

  •   2.2. Korsch 망원경 광학계 설계

  •   2.3. 비구면 공차 분석 방법 비교

  • III. 결 론

I. 서 론

지상 관측용 인공위성은 감시 ‧ 정찰 임무와 같은 군사 목적으로 주로 사용되며 미국의 경우에는 0.25 m급 고해상도 인공위성의 민간 사용을 허가하면서 다양한 민간 기업에서 연구가 활발히 진행되고 있다[1]. 또한 표 1의 지상 관측용 인공위성 개발 사례를 보면 같은 해상도에서 높은 성능을 만족하기 위해 광학계의 주경 크기가 점차 증가하고 있다[2].

Table 1.

Technical trends for high resolution satellites

Satellite (country) Resolution (m) Diameter (m) Altitude (km) Wavelength Launch date
CSO-THR A (France) 0.20 1.5 800 EO, MWIR, LWIR 2011.12.19
Worldview-3 (America) 0.30 1.1 617 EO 2014.08.13
Gaofen-11 (China) 0.15 ~ 0.20 1.7 470 EO 2018.07.31
Cartosat-3 (India) 0.25 1.2 450 EO 2019.11.27
Pleiades NEO (France) 0.30 1.35 620 EO 2020, 2021

이에 따라 비구면 반사경의 제작 비용이 증가하고 고정밀 제작이 요구되며 반사경의 품질을 평가하기 위한 공차 분석이 중요하게 되었다. 비구면 형상에 대한 공차 분석은 기존 Zernike fringe sag를 이용한 방법 이외에 비구면 다항식의 계수에 변화를 주어 허용 공차를 분석하는 방법도 있다. 그러나 기존에 짝수항 비구면 다항식으로 공차 분석을 진행하면 각 계수항들이 독립적으로 구성되어 있지 않아 정확한 분석이 어렵다. 따라서 비구면을 짝수항 다항식이 아닌 Q-polynomial으로 표현하여 허용 공차를 분석하는 방법을 제시하고자 한다. Q-polynomial은 짝수항 다항식과 달리 계수항이 독립적이고 고차항으로 갈수록 형상 기여도가 감소하여 효율적인 공차 분석이 가능하다.

II. 본 론

2.1. Korsch 망원경 광학계 사양

비구면 반사경의 공차 분석 방법을 설명하기 위해 인공위성 광학계 타입을 Korsch 망원경 광학계로 선정하였다. 국내에서는 다목적실용위성 3호에 Korsch 타입이 탑재되었으며 일반적으로 고해상도 인공위성 광학계에 적용하는 타입이다. 표 2는 Korsch 망원경 광학계의 사양으로 기존 0.25 m 해상도의 광학계의 사양을 참고하여 결정하였다[3,4].

Table 2.

Specifications for the Korsch telescope optical system

Korsch telescope Specification
Detector Sensor size 244.4 mm × 31.8 mm
Pixel size 7 µm
Observation GSD 0.25 m
Altitude 500 km
Swath width 8.7 km
Optics Wavelength 0.38-0.78 µm
FOV 1.0° × 0.13°
Focal ratio 9.86
Focal length 14000 mm
Effective aperture diameter 1420 mm
Secondary mirror ratio ≤25%

2.2. Korsch 망원경 광학계 설계

인공위성 광학계의 설계는 광학 설계 소프트웨어 ZEMAX를 사용하여 수행하였다. 비축 field를 구현하기 위하여 Object angle을 (0°, 0.345°)에서 (0°, 0.475°)까지 적용하고 주경 뒷면의 지지 구조물과 평면경 사이의 거리를 고려하여 약 450 mm 이상의 구속 조건을 적용하였다[5]. 후면 초점거리는 경통 크기를 벗어나지 않게 하기 위하여 1500 mm 이하로 설정하였다. 이외에 초점거리 14000 mm, 부경 크기를 주경의 25% 이하로 제한하고 최적 설계를 진행하였다.

그림 1은 최적 설계한 Korsch 망원경 광학계로 크기를 최소화하기 위해 3개의 비구면 반사경과 1개의 평면경으로 설계를 진행하였다. 표 3은 최적 설계한 광학계의 데이터로 RMS wavefront error 요구사항을 만족하기 위하여 각 반사경에 짝수항 비구면 계수를 적용하였다. 부경의 크기는 주경의 유효 직경 1420 mm 대비 약 23%인 325 mm이다.

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Fig. 1

0.25 m Korsch telescope layout.

Table 3.

Parameters of the optical system

Item Value
Primary mirror (M1) Diameter 1450 mm
Central hole diameter 325 mm
Radius -3709.815 mm
Conic constant -0.9873
4th coefficient -2.889E-14
6th coefficient -6.256E-23
8th coefficient -1.482E-28
Secondary mirror (M2) Diameter 325 mm
Radius -869.885 mm
Conic constant -1.8853
4th coefficient 9.024E-15
6th coefficient 3.329E-18
8th coefficient -1.652E-22
Folding mirror (FM) Diameter 112 mm × 38 mm
Decenter Y 102.5 mm
Tilt X -45°
Tertiary mirror (M3) Diameter 215 mm × 105 mm
Decenter Y 103 mm
Radius 1129.386 mm
Conic constant -0.5439
4th coefficient -2.154E-12
6th coefficient 1.594E-18
8th coefficient -1.647E-23
Distance M1 - M2 1500 mm
M2 - FM 2100 mm
FM - M3 800 mm
M3- Focal plane 1349 mm

그림 2는 설계한 광학계의 성능 분석 그래프로 MTF는 중앙 차폐를 구현한 수치이며 max frequency 71.4 cycles/mm에서 회절 한계선에 근접한 것을 확인하였다. 또한 RMS wavefront error 값이 비축 field에서 0.03λ 이하인 것을 알 수 있다.

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Fig. 2

MTF and RMS wavefront error.

2.3. 비구면 공차 분석 방법 비교

반사경의 형상 오차는 성능 저하의 주요 요인으로 제작된 반사경의 품질을 평가하기 위한 공차 분석이 필요하다. 반사경의 품질은 측정 sag값이 도면의 허용 공차 범위 내에 있는지의 여부로 제작의 성패를 판단한다. 따라서 비구면 공차 분석은 제작 도면에 명시할 수 있는 허용 sag 공차를 도출하는 것이 목적이다. 본 논문에서는 설계한 0.25 m Korsch 망원경의 반사경을 통해 Zernike fringe sag와 Q-polynomial를 이용한 공차 분석을 소개하고 비교 분석하고자 한다.

Zernike fringe sag는 직교성을 가진 Zernike fringe 계수항에 가중치를 주어 생기는 형상 변형을 나타낸다[6]. Zernike fringe 다항식은 수차 관련 항들로 이루어져 있어 공차 분석 시 비점수차, 코마, 구면 수차와 같은 주요 수차의 영향을 알 수 있다[7,8]. 식 (1)은 Zernike fringe sag의 공식으로 짝수항 비구면 계수와 Zernike fringe 다항식으로 이루어져 있다. N은 Zernike 계수항의 개수, A는 Zernike 계수, Z는 반경 좌표 ρ, 각도 좌표 ϕ로 이루어진 Zernike 함수이다.

(1)
Zernikefringesag=cr21+1-(1+k)c2r2+i=18αir2i+I=1NAIZI(ρ,ϕ)

공차 분석 방법은 0.6328 µm 파장을 기준으로 다른 항목들이 오차가 없다는 전제 하에 한 개의 분석항에만 증감치를 주어 개별 공차를 산출하는 방식으로 진행하였다[9]. 공차 범위는 RMS wavefront error가 0.05λ 이하가 되도록 조절하였으며 분석 항목은 Z4 디포커스부터 Z9 구면수차까지 진행하였다. 표 4는 Zernike fringe sag를 이용하여 공차 분석을 진행한 결과로, max sag error는 분석 항목들의 개별 공차이며 peak to valley (PV) 값이다. 표 하단에 최소 허용 공차는 반사경의 최소 max sag error 값으로 모든 공차 항목에서 성능 기준을 만족할 수 있는 PV값을 의미한다. 따라서 Zernike fringe sag를 이용하여 분석한 최소 허용 공차는 주경 0.04 µm, 부경 0.05 µm, 제3 반사경 0.07 µm이다.

Table 4.

Permissible tolerance analyzed in Zernike fringe sag

Zernike fringe sag Max sag error (µm)
Primary
mirror
Secondary
mirror
Tertiary
mirror (0°)
Tertiary
mirror (90°)
Z4 Max 2.94 4.70 19.35 18.10
Min 3.04 4.10 17.76 16.63
Z5 Max 0.04 0.05 0.350 0.33
Min 0.04 0.06 0.350 0.33
Z6 Max 0.04 0.05 0.325 0.32
Min 0.04 0.05 0.337 0.33
Z7 Max 0.08 0.12 0.20 -
Min 0.08 0.11 0.20 -
Z8 Max 0.08 0.10 - 0.16
Min 0.06 0.12 - 0.15
Z9 Max 0.06 0.09 0.07 0.11
Min 0.06 0.07 0.07 0.11
Minimum tolerance 0.04 0.05 0.07 0.11

표 5는 부경의 비구면 형상에 대한 공차를 분석하였을 때의 sag 변화 그래프로 Z7항에서 vertex를 중심으로 반사경 상면과 하면이 다른 sag error 값을 가지게 된다. 설계한 광학계는 목표 성능 기준 이하가 되도록 Z7항에 미세한 값을 주어 상면과 하면이 단순히 다른 부호의 sag error를 가지고 있다. Zernike fringe sag는 그림 3과 같이 특정항에 큰 값을 주는 경우에 vertex를 기준으로 sag error가 비대칭으로 형성되는 경우도 분석할 수 있는 장점이 있다.

Table 5.

Sag error of the secondary mirror analyzed in Zernike fringe sag

Secondary mirror
Max Min
Z4 /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T5-1.jpg /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T5-2.jpg
Z7 /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T5-3.jpg /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T5-4.jpg

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Fig. 3

Sag cross section for large values of Z7.

Q-polynomial은 Greg. W. Forbes가 고안한 비구면 표현식으로 짝수항 다항식과 달리 계수항들이 서로 직교성을 가지고 있어 비구면 계수에 오차를 부여하여 허용 공차를 분석할 수 있다. 따라서 각 계수 항이 정의하는 비구면에 대해 분석이 가능하며 형상을 예측할 수 있다[10].

공차 분석 방법은 Zernike fringe sag와 같은 방법으로 RMS wavefront error 0.05λ 이하가 되도록 설계한 radius, conic, Qcon 계수항에 증감치를 주어 개별 공차를 구하는 방식으로 진행하였다. 표 6은 반사경을 Q-polynomial로 공차 분석한 결과로 최소 허용 공차는 주경 0.08 µm, 부경 0.09 µm, 제3 반사경 0.08 µm이다. 그리고 계수항이 고차항으로 갈수록 max sag error가 작아지는 경향성을 띄었다.

Table 6.

Permissible tolerance analyzed in Q-polynomial

Qcon coefficient Max sag error (µm)
Primary
mirror
Secondary
mirror
Tertiary
mirror (0°)
Tertiary
mirror (90°)
Radius Max 4.72 4.01 109.8 70.3
Min 4.44 4.09 158.5 101.5
Conic Max 0.22 0.26 0.38 0.21
Min 0.24 0.31 0.37 0.21
A0 Max 0.24 - 0.38 0.22
Min 0.22 - 0.38 0.22
A1 Max 0.08 0.18 - -
Min 0.08 0.13 - -
A2 Max 0.09 0.09 0.12 0.09
Min 0.10 0.09 0.10 0.08
Minimum tolerance 0.08 0.09 0.10 0.08

Q-polynomial은 표 7과 같이 sag error가 대칭으로만 형성되어 비대칭 error를 포함하는 Zernike fringe sag 방식보다 2배 정도 큰 공차를 갖는다고 할 수 있다. 실제 공차 분석 결과에서도 대칭 구조를 가진 주경과 부경에 대하여 Q-polynomial이 Zernike fringe sag 방식 대비 약 2배 큰 공차를 가졌으며 비대칭 구조의 제3 반사경은 유사한 공차를 가졌다. 따라서 Q-polynomial으로 대칭 구조의 반사경을 공차 분석 시 약 절반의 값을 고려하면 Zernike fringe sag로 분석한 공차 분석과 유사한 공차 값을 얻을 수 있다.

Table 7.

Sag error of the secondary mirror analyzed in Q-polynomial

Secondary mirror
Max Min
Conic /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T7-1.jpg /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T7-2.jpg
A2 /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T7-3.jpg /media/sites/kjop/2020-031-06/N0140310611/images/kjop_31_06_11_T7-4.jpg

III. 결 론

본 논문에서는 Q-polynomial을 이용한 Korsch 망원경의 비구면 공차 분석 방법에 대한 연구를 진행하였다. Q-polynomial은 짝수항 다항식과 달리 계수항이 독립적이고 고차항으로 갈수록 형상 기여도가 감소하여 효율적인 공차 분석이 가능하다. 따라서 설계한 Korsch 망원경 광학계를 이용하여 Q-polynomial로 비구면 공차 분석하고 기존에 사용된 Zernike fringe sag와 결과를 비교하였다. 분석 방법은 공차 항목의 증감으로 최소 허용 공차를 구하는 방식으로 Q-polynomial은 설계한 반사경의 radius, conic, Qcon에 변화를 주었다. Zernike fringe sag로 분석한 허용 공차는 PV값으로 주경 0.04 µm, 부경 0.05 µm, 제3 반사경 0.07 µm이며 비대칭 sag error를 포함하고 있는 것을 확인하였다. Q-polynomial를 통한 허용 공차는 주경 0.08 µm, 부경 0.09 µm, 제3 반사경 0.08 µm이며 sag error가 대칭으로만 형성되었다. 두 방식을 비교한 결과, Q-polynomial이 대칭 구조의 반사경에서 Zernike fringe sag 방식보다 약 2배 더 큰 공차를 가지고 비대칭 구조의 반사경은 유사한 공차를 가진다는 것을 확인하였다. 이를 통해 Q-polynomial 계수들의 변화를 이용하여 비구면 공차 분석이 가능함을 알 수 있었다.

Acknowledgements

이 논문은 2020년도 한화시스템(주)의 재원을 지원받아 수행되었습니다(초소형위성 광학 탑재체 연구).

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