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연구논문(Research Paper)

2023; 34(1): 22-30

Published online February 25, 2023 https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Copyright © Optical Society of Korea.

Measurement of the Axial Displacement Error of a Segmented Mirror Using a Fizeau Interferometer

Ha-Lim Jang1,2, Jae-Hyuck Choi2, Jae-Bong Song2, Hagyong Kihm1,2

피조 간섭계를 이용한 단일 조각거울 광축방향 변위 오차 측정

장하림1,2ㆍ최재혁2ㆍ송재봉2ㆍ김학용1,2†

1Department of Science of Measurement, University of Science and Technology, Daejeon 34113, Korea
2Space Optics Team, Advanced Instrumentation Institute, Korea Research Institute of Standards and Science, Daejeon 34113, Korea

1과학기술연합대학원대학교 측정과학과 ㉾ 34113 대전광역시 유성구 가정로 217
2한국표준과학연구원 첨단측정장비연구소 우주광학팀 ㉾ 34113 대전광역시 유성구 가정로 267

Correspondence to:hkihm@kriss.re.kr, ORCID: 0000-0002-3992-0758

Received: January 13, 2023; Revised: February 1, 2023; Accepted: February 3, 2023

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

The use of segmented mirrors is one of the ways to make the primary mirror of a spaceborne satellite larger, where several small mirrors are combined into a large monolithic mirror. To align multiple segmented mirrors as one large mirror, there must be no discontinuity in the x, y-axis (tilt) and axial alignment error (piston) between adjacent mirrors. When the tilt and piston are removed, we can collect the light in one direction and get an expected clear image. Therefore, we need a precise wavefront sensor that can measure the alignment error of the segmented mirrors in nm scale. The tilt error can be easily detected by the point spread image of the segmented mirrors, while the piston error is hard to detect because of the absence of apparent features, but makes a downgraded image. In this paper we used an optical testing interferometer such as a Fizeau interferometer, which has various advantages when aligning the segmented mirror on the ground, and focused on measuring the axial displacement error of a segmented mirror as the basic research of measuring the piston errors between adjacent mirrors. First, we calculated the relationship between the axial displacement error of the segmented mirror and the surface defocus error of the interferometer and verified the calculated formula through experiments. Using the experimental results, we analyzed the measurement uncertainty and obtained the limitation of the Fizeau interferometer in detecting axial displacement errors.

Keywords: Artificial satellite, Axial displacement error, Defocus, Segmented mirror

OCIS codes: (120.3180) Interferometry; (120.3940) Metrology; (120.6085) Space instrumentation; (120.6650) Surface measurements, figure; (230.4040) Mirrors

고해상도 우주용 관측 위성에 대한 수요가 증가함에 따라, 대형 주반사경 제작 기술의 필요성이 커지고 있다. 광학위성은 대부분 반사식 광학계로 구성되어 있으며, 분해능과 집광 효율이 주반사경의 크기에 비례하기 때문에 고해상도 관측 위성의 광학 성능을 높이기 위해 대형 주반사경 제작이 필수적이기 때문이다. 하지만 주반사경의 직경이 3 m를 초과하면 거울의 무게가 기하급수적으로 증가하고, 제작 및 가공이 어렵다. 이러한 이유 때문에 다수의 조각거울(segmented mirror)을 나열해서 하나의 거대한 단일 거울로 작동시키는 대형 주반사경 기술이 필요하다. 조각거울을 사용하면 각 거울의 무게가 크게 증가하지 않고, 우주로 운송할 경우에도 주반사경 자체를 접었다 펼 수 있다[1]. 이 때 각 조각거울은 x, y축 기울기 오차와 인접한 조각거울 사이의 높이 차이인 광축방향 정렬오차 문제를 갖는다. 이 문제를 해결하지 못하면 조각거울에서 반사된 빛이 각각 다른 위상을 가지게 되어 좋은 화질을 기대하기 어렵기 때문에 조각거울 기술의 핵심은 나노미터 수준의 정확한 정렬이다[2,3]. 따라서 각 조각거울의 파면을 측정하고, 거울의 이탈 정도를 나노미터 단위로 알려주어 위상 상태를 실시간으로 측정할 수 있는 파면 센서가 필요하다[4].

현재 개발된 조각거울 정렬오차 측정 방법은 다양한 파면 측정 방법을 기반으로 한다. 간섭계 기반의 정렬오차 측정 방법은 두 인접한 조각거울의 파면을 간섭시켜 얻은 간섭무늬를 분석해서 조각거울의 정렬오차 정보를 얻는다. 다른 방법과 비교해서 기울기 정렬오차와 광축방향 정렬오차를 동시에 측정할 수 있다는 장점이 있으며, 높은 정확도를 가진다[5,6]. 광축방향 정렬오차에 대한 정보를 늘리기 위해 분산 광학 소자 센서(dispersed fringe sensor)를 이용해 간섭무늬를 분석하는 방법도 있다[7,8]. 이 방법은 간섭계 측정 방법에 비해 비교적 넓은 측정가능 범위를 보여주지만, 분산 광학 소자를 정렬하는 데 번거로움이 있다. 이 문제를 해결하고자 파장을 실시간으로 바꿀 수 있는 필터를 사용해 분산된 간섭무늬를 얻는 방법도 소개되었다[9]. 간섭무늬 분석의 한계를 해결하고자 분산 광학 소자 센서와 인공 별을 이용한 이미지 분석 기반의 방법을 함께 사용하기도 하며[10], 측정용 현미경에서 주로 사용하는 방법인 저니케 위상 대비 센서(Zernike phase contrast sensor)를 사용해서 광축방향 정렬오차를 넓은 측정가능 범위로 감지하는 방법과 인공 지능을 이용해서 광축방향 정렬오차와 기울기 오차가 섞여 있는 복잡한 데이터에서 연결점을 찾아 정렬오차를 분석하는 방법도 제안되었다[11,12]. 기존 거울 파면을 측정하는 데 주로 쓰이는 피라미드 센서(pyramid sensor)와 곡률 센서(curvature sensor)를 이용한 측정 방법은 간단한 광학 정렬로 조각거울의 정렬오류를 측정할 수 있다는 장점이 있다. 피라미드 센서를 이용한 방법은 광축방향 정렬오차와 기울기 오차의 신호 차이를 통해 구분하여 정렬하며, 곡률 센서를 통한 조각거울 정렬 방법은 전체 조각거울에 대한 정보를 얻고 그 정보에서 광축방향 정렬오차와 기울기 오차를 분석한다[13,14]. 측정 대상의 편평도를 측정하는 층밀리기 편향법(sheared deflectometry)을 이용한 조각거울의 정렬오류를 분석하는 방법도 개발되었다[15]. 기존 파면 분석 센서로 쓰이는 샥-하트만 센서(Shack-Hartmann sensor)를 통한 측정 방법은 해당 센서가 광축방향 정렬오차보다 기울기 오차에 더 민감한 단점을 극복하기 위해 간섭계와 함께 사용하여 조각거울의 정렬오차를 측정하는 방법이 고안되었다[16,17].

소개된 여러 파면 센서 기반 방법 중 본 논문에서 주목한 방법은 간섭계 기반 측정 방법이다. 간섭계 기반 측정 방법은 지상에서 초기 정렬 시 모든 조각거울에 대해 빠르고 정확하게 정렬오차를 측정할 수 있고, 기울기 오차와 광축방향 정렬오차를 동시에 측정할 수 있다는 장점이 있기 때문이다. 하지만 기존 개발된 간섭계 기반 조각거울 정렬오차 측정 방법은 대부분 조각거울 정렬오류 측정만을 위해 구성한 간섭계를 사용하기 때문에 정렬이 복잡하며, 사용 접근성 또한 낮다. 이러한 단점을 극복하고, 간섭계의 장점을 활용할 수 있는 방법은 광학계 평가용 간섭계를 사용해서 조각거울의 정렬오차를 측정하는 것이다. 광학계 평가용 간섭계 기반 측정 방법은 지상에서 조각거울 초기 정렬 시 정렬오차를 쉽게 측정할 수 있을 뿐만 아니라 중력 및 구동에 의한 거울면 왜곡까지 측정 가능하다. 또한 상용화된 간섭계 사용으로 사용접근성이 높으며, 교정이 쉬워 국가 표준 및 국제 표준에 대한 지속적인 품질관리가 가능하고, 기계적인 측정 방법과 구동기 등에 상호 소급성을 유지할 수 있다. 하지만 이러한 장점에도 불구하고 지금까지 광학계 평가용 간섭계를 사용한 조각거울의 정렬오차의 측정오차 한계 규명 및 측정불확도에 대한 연구가 없다. 따라서 본 논문에서는 대표적인 광학계 평가용 간섭계인 피조 간섭계(Fizeau interferometer)를 이용한 복수 조각거울의 초기 정렬을 위한 기초 연구로서 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정하고, 측정값을 통해 측정불확도를 계산하여 측정오차의 한계를 규명한다.

조각거울 초기 정렬은 수십–수백 mm의 광축방향 정렬오차를 수 mm 수준으로 줄이는 과정으로, 나노미터 수준으로 광축방향 정렬오차를 줄이는 미세 정렬의 전 단계를 말한다. 대부분의 조각거울 측정 방법은 광축방향 정렬오차의 측정 정확도가 높을수록 측정가능 범위는 좁아지는 특징을 가지기 때문에, 초기 정렬을 통해서 광축방향 정렬오차를 마이크로미터 수준으로 낮추는 단계가 필요하다. 이 때, 정렬오차 중 기울기 오차는 각 조각거울의 반사된 빛의 point spread function (PSF)을 통해 쉽게 확인할 수 있는 반면, 광축방향 정렬오차는 최종 이미지의 품질을 저하시키지만 PSF에서 뚜렷한 변화가 없기 때문에 기울기 오차와 동일한 방법으로 측정할 수 없다. 이는 지금까지 개발된 조각거울 정렬오차 측정 방법들이 기울기 오차가 아닌 광축방향 정렬오차 측정에 집중되어 있는 이유이며, 같은 이유로 본 논문에서도 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차의 측정오차 한계를 규명했다. 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정은 광축방향 변위 오차가 부과된 방향을 알 수 있기 때문에 인접한 두 조각거울의 상대적인 광축방향 정렬오차만을 측정하는 파면 센서에 구동 방향에 대한 정보를 줄 수 있다. 또한 여러 조각거울의 정렬 시, 각 조각거울의 절대적인 광축방향 변위 오차를 알 수 있기 때문에 측정오차 한계 내에서 정렬이 가능하다. 이는 복수 조각거울의 광축방향 정렬오차 측정의 기초 연구로서 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차의 측정오차 한계 규명이 중요한 이유이다.

먼저 2장에서는 수식을 통한 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차의 관계를 도출하고, 3장에서 도출한 수식의 타당성을 검증하기 위해 조각거울의 광축방향 변위 오차를 1 mm, 2 mm 간격으로 증가시키며 간섭계로 측정한다. 실험 결과를 4장에 그래프로 나타냈으며, 5장에서는 실험 측정값을 이용해서 측정불확도를 계산한 후 불확도 총괄표로 나타냈다. 불확도를 계산한 결과, 피조 간섭계는 직경 72 mm, 곡률반경 400 mm의 조각거울에 대해서 0.8 mm 이하의 조각거울 광축방향 변위 오차를 측정할 수 없음을 알 수 있었다.

수식을 이용한 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차의 관계식 도출을 위해서는 두 단계가 필요하다. 먼저 거울 공식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 초점오차 변화량에 대한 수식을 계산하고, 곡률반경 변화율과 조각거울 광축방향 변위 오차의 관계를 나타낸다. 그리고 앞서 계산한 두 수식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계의 표면 초점오차 관계식을 얻는다.

먼저 조각거울 광축방향 변위 오차에 따른 초점오차의 변화량을 거울 공식을 이용해서 그림 1에 나타냈다. 그림 1은 피조 간섭계에서 투과 기준구면(transmission sphere)을 통과한 빔이 조각거울의 곡률반경(radius of curvature, RoC) 중심에서 출발하여 반사된 후 돌아올 때, 조각거울 광축방향 변위 오차가 z축 방향으로 d만큼 증가할 경우 초점오차의 변화량(Δz)을 보여준다. 그림 1에서 R은 조각거울의 곡률반경, a는 곡률반경 중심에서 조각거울까지의 거리, b는 반사된 빔에서 조각거울까지의 거리를 의미한다. 피조 간섭계에서 빔은 곡률반경 중심에서 출발하기 때문에 a = b = −R을 만족하며, 이를 이용해서 거울 공식(1/a + 1/b = −2/R = 1/f)을 미분한 후 정리하면 Δa와 Δb의 관계를 식 (1)과 같이 표현할 수 있다. 식 (1)에서 Δa = −d이기 때문에, 식 (2)와 같이 초점오차의 변화량을 조각거울 광축방향 변위 오차(d)로 나타낼 수 있다. 이후 동일한 거울 공식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 곡률반경 변화율의 관계를 도출한다. 거울 공식을 곡률반경 R에 대해 편미분하면 식 (3)과 같고, 초점 이동량 Δb = Δz이므로, 식 (2)를 이용하여 식 (4)를 도출할 수 있다.

Figure 1.Relationship between axial displacement error and defocus. RoC, radius of curvature.

Δb=b2a2Δa=Δa

Δz=ΔbΔa=2Δa=2δ

bR=2a2(2aR)2=2R2R2=2

ΔR=12Δz=122δ=δ

두 번째로 간섭계가 측정하는 파면 처짐 변화율(wavefront sag change, Δs)과 파면 초점 변화율(wavefront focus shift, ΔR)의 관계를 그림 2에 나타냈다[18]. 파면 처짐 방정식은 식 (5)와 같고, R과 K는 각각 곡률반경과 비구면 상수(conic constant)를 의미한다. 이 때 구면 거울의 경우 K = 0, r = D/2을 만족하기 때문에 식 (6)과 같이 정리할 수 있다. 식 (6)에서 파면 초점 변화율에 대한 파면 처짐 변화율을 구하기 위해서 편미분한 후 정리하면 식 (7)과 같이 파면 처짐 변화율(Δs)을 파면 초점 변화율(ΔR)에 대한 식으로 표현할 수 있다.

Figure 2.Relationship between wavefront focus shift ΔR and wavefront sag change Δs. RoC, radius of curvature.

s=1K+1RR2(K+1)r2

s=RR2D2/4

Δs=ΔR111A , where A=D24R2

피조 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차(surface defocus error, Z4)는 간섭계 측정 시 환산 계수(scale factor)를 0.5로 설정했을 때 파면 처짐 변화율의 0.5배이기 때문에 식 (8)의 관계를 갖는다. 따라서 식 (7)은 앞서 구한 파면 초점 변화율(ΔR)과 조각거울 광축방향 변위 오차(d)의 관계식인 식 (4)를 이용해서, 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차(Z4)와 조각거울 광축방향 변위 오차(d)의 관계식인 식 (9)로 나타낼 수 있다.

surface defocus error Z4 = 12wavefront sag = Δs2

Z4=Δs2=ΔR2111A=12δ111A

위 수식을 통해 첫 번째로 알 수 있는 것은 조각거울 광축방향 변위 오차(d)에 따른 간섭계 표면 초점오차(Z4)의 이론값이다. 실험에 사용할 R/5.5 (R-number = R/D)의 조각거울에 대한 간섭계의 표면 초점오차 이론값을 확인하기 위해 R/5.5를 식 (9)에 대입하면, 조각거울 광축방향 변위 오차가 1 mm일 때, 표면 초점오차는 0.00204 mm (2.04 nm)만큼 증가함을 알 수 있다. 즉, 조각거울의 광축방향 변위 오차는 마이크로미터 단위로 변화하는 데 반해 측정한 표면 초점오차는 나노미터 수준으로 변화율이 상대적으로 매우 작음을 알 수 있다. 두 번째로 간섭계가 측정하는 표면 초점오차는 조각거울의 곡률반경과 직경에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다. 그림 3은 조각거울의 광축방향 변위 오차가 1 mm일 때, R/#에 따른 표면 초점오차의 변화를 나타낸다. 그림 3(a)는 같은 광축방향 변위 오차를 가짐에도 불구하고 R/#가 증가함에 따라 간섭계의 표면 초점오차값이 점점 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 그림 3(b)는 특정 R/#에 대해 광축방향 변위 오차가 증가함에 따른 표면 초점오차 변화율을 나타낸 것으로, 높은 R/#를 갖는 조각거울일수록 광축방향 정렬오차에 대한 표면 초점오차의 변화율이 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 이는 높은 R/#를 갖는 조각거울을 광학계 평가용 간섭계로 측정할 때 불확도가 더 커짐을 의미한다.

Figure 3.Surface defocus errors (a) when the axial displacement error is 1 mm and (b) when the axial displacement error changes for different R/#.

앞서 도출한 식의 타당성을 검증하고, 간섭계를 통해 측정할 수 있는 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 한계를 분석하기 위해서 그림 4와 같이 구성했다. 실험 구성은 Zygo사의 직경 4인치 피조 간섭계, f/3.3 (f-number = f/D)인 투과 기준구면, 조각거울, 그리고 정렬을 위한 5축 수동 스테이지(5-axis manual alignment stage)와 조각거울에 광축방향 변위 오차를 부과하기 위한 압전 구동 정밀 스테이지(piezo actuator)로 이루어진다. 실제 실험에서는 그림 5(a)에서 보이는 것과 같이 펠리클(pellicle)을 추가로 배치하여 간섭무늬의 가시도가 높아지도록 구성했고, 실험에 사용한 조각거울의 곡률반경과 지름은 각각 400 mm, 72 mm (R/5.5)이다. 실험은 광축방향 변위 오차를 0–100 mm 범위에서 1 mm와 2 mm 간격으로 증가시키며 각각 2번 반복 측정했고, 분석 데이터로 사용한 측정값은 그림 5(b)의 피조 간섭계의 실행 프로그램에서 표면 초점오차에 해당하는 Coef 3이다. 그림 5(b)에서 Coef는 파면의 형상을 나타내는 저니케 다항식(Zernike polynomial)의 각 수차에 대한 계수를 나타낸다. Coef 0은 0차 수차로, 측정 이미지의 크기에 영향을 주지만 이미지 품질에는 영향을 미치지 않는 기본 수차이다. Coef 1과 Coef 2는 각각 x축과 y축 기울기 오차(Tilt X, Tilt Y)를 의미하며, Coef 4와 Coef 5는 각각 x축과 y축 비점수차(Astigmatism X, Astigmatism Y)를 의미한다[19].

Figure 4.Configuration of segmented mirror measurement using a Fizeau interferometer.

Figure 5.(a) Experimental setup using a Fizeau interferometer. (b) Used data (Coef 3, surface defocus error) from the Fizeau interferometer.

그림 6은 조각거울 광축방향 변위 오차가 증가함에 따른 피조 간섭계가 측정한 표면 초점오차의 실험 결과이다. 측정값은 2회 반복 측정한 결과의 평균값을 나타냈고, 측정값을 식 (9)의 이론값과 Code-V의 시뮬레이션 값과 비교하기 위해서 모든 결과를 함께 표현했다. 먼저 식 (9)를 검증하기 위해서 측정값과 두 값을 비교한 결과, 이론값과 측정값은 11% 오차범위 내에서, Code-V 시뮬레이션 값과 측정값은 9.9% 오차범위 내에서 일치함을 보여 앞서 도출한 식으로 실제 실험값을 예측할 수 있다는 것을 확인할 수 있다. 하지만 측정값과 이론값 사이에는 불규칙한 오차가 존재함을 볼 수 있다. 이는 그림 6(a)에서 뚜렷하게 나타나며, 그림 6(b)에서는 측정값이 급격하게 하락하는 구간도 존재한다. 따라서 전체 측정값이 식 (9)의 이론값과 같은 경향은 띄지만 간섭계 측정 시 측정값에 영향을 주는 요인들로 인해 측정값을 신뢰하기 어려움을 알 수 있다.

Figure 6.Fizeau interferometer surface defocus error obtained with increasing the axial displacement error (a) at 1 mm interval and (b) at 2 mm interval.

추가 실험으로 측정값의 변동성을 확인하기 위해서 조각거울의 광축방향 변위 오차가 1 mm, 2 mm, 3 mm, 4 mm일 때의 표면 초점오차를 각각 120번 왕복 측정하고, 측정값의 평균값과 표준 편차를 표 1에 정리했다. 1 mm 왕복 실험의 경우 표준 편차가 실험 평균값보다 크므로, 측정값의 변동성이 커 실험 결과만으로 간섭계의 측정한계를 결정지을 수 없음을 알 수 있다. 따라서 측정불확도 계산을 통해서 피조 간섭계의 조각거울 광축방향 변위 오차 측정 한계를 확인하고자 2 mm 간격 측정값을 이용해 측정불확도를 계산했다.

Table 1 Measurement of the axial displacement error by using a Fizeau interferometer

Axial displacement error (mm)1234
Average of defocus (nm)0.9952.2733.6175.082
Standard deviation of defocus (nm)1.5641.6901.7611.793

측정불확도는 충분히 타당성 있는 이유에 의해 측정량에 영향을 미칠 수 있는 값들의 분포를 특성화한 측정값에 관련된 파라미터를 의미한다[20]. 측정불확도를 계산하면 측정값에 영향을 주는 모든 요인들에 대한 평가가 가능하며, 측정값의 신뢰도 또한 알 수 있다. 측정불확도 계산에 필요한 매개변수와 불확도 요인은 표 2에 나타냈다. 표 2의 X는 앞서 실험으로 얻은 측정값의 평균값이며, s는 측정값에 대한 표준 편차이다. 표준 편차는 반복 측정에 의한 불확도 계산 시 사용된다. ci는 감도 계수로, 각 불확도 요인이 합성표준불확도에 어느 정도 기여하는지를 나타낸다. 감도계수는 해당 불확도를 수식으로 표현한 후 (x 변화량/y 변화량)으로 계산되며, 합성표준불확도 계산 시 각 요인의 표준불확도 값에 곱해진다. 표 2의 4개의 불확도 요인은 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정할 때 측정량에 영향을 주는 모든 요인을 정리한 내용이다. u(sm,l)는 간섭계의 레이저 파장에 영향을 주는 불확도 요인을 말하며, 파장 안정도, 대기압 변화에 의한 파장 변화 등 파장 값에 의한 불확도를 포함한다. u(sm.PSI)는 위상이동 간섭법에 의한 불확도를 나타내며, 실험 시 사용한 Zygo 4인치 피조 간섭계에서 파면 측정을 위해 사용하는 13-프레임 선형 위상 이동 간섭 측정법(PSI)에 의한 불확도를 말한다. u(sm,rpt)는 반복 측정 불확도이다. 반복 측정 불확도는 측정값의 표준 편차를 측정 횟수(n)에 대한 자유도(n − 1)의 제곱근(n1)으로 나누어 계산하며, 측정 횟수는 유효자유도를 고려해서 20번으로 정했다. u(sPI)는 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 조각거울에 광축방향 변위 오차를 부과해주는 선형 압전 구동 정밀 스테이지 P-611.1 (PI Korea, Seoul, Korea)에 의한 측정불확도 요인이며, 재현성과 분해능에 의한 측정불확도 수치를 포함한다. 해당 스테이지는 PI 사에서 제공한 문서에 따르면 재현성에서 1s = 2.7 nm을 보이며(100번 반복), 1 nm의 분해능을 갖는다. 조각거울의 압전 구동 정밀 스테이지에 의한 광축방향 구동 시 발생하는 기울기는 저니케 다항식을 통해 분리할 수 있으며, 그 변화량이 매우 작아 무시할 수 있다. uc(st)는 모든 불확도 요인의 표준불확도를 합산하여 얻은 합성표준불확도이다. 합성표준불확도는 요인별 표준불확도를 식 (10)에 대입하여 계산한다. U는 합성표준불확도를 바탕으로 측정값의 95% 신뢰구간을 나타내기 위한 확장불확도이다. 확장불확도는 합성표준불확도에 포함인자(k, coverage factor)를 곱하여 표현하며, 포함인자는 유효자유도에 따라 결정된다. 포함인자는 유효자유도가 10보다 큰 경우 k = 2를 사용하고, 유효자유도(veff)는 산출한 합성표준불확도와 각 요인의 자유도를 고려하여 Welch-Satterthwaite 공식을 통해서 식 (11)과 같이 계산한다[21]. 이때 식 (11)에서 계산한 유효자유도가 충분히 크기 때문에 포함인자 k = 2를 사용해서 확장불확도를 계산했다[22]. 최종 측정불확도는 확장불확도(U)로 나타내며, 표 2의 레이저 파장 불확도 요인과 위상 이동 간섭법에 의한 불확도 요인은 한국표준과학연구원 측정 서비스 기술 절차서 C-01-1-0510-2022 방법에 의거해서 계산했다[23].

Uncertainty parameters and sources of measurement uncertainty using a Fizeau interferometer

SymbolParameter and source of uncertainty
XMeasurand (surface defocus error, Z4)
σStandard deviation
ciSensitivity coefficient
u(sm,λ)Uncertainty of laser wavelength
u(sm,PSI)Uncertainty of phase shifting interferometry
u(sm,rpt)Uncertainty of repeated measurement
u(sPI)Uncertainty of piezo actuator
uc(st)Combined standard uncertainty
UExpanded uncertainty


uc2(st)=csm,λ2u2(sm,λ)+csm,PSI2u2(sm,PSI)+csm,rpt2u2(sm,rpt)+csPI2u2(sPI)

veff=uc4(st) i=1n ui 2(st ) vi =2.60.38419+0.009849941000

표 3에 나타낸 불확도 총괄표는 표 2의 모든 불확도 요인을 계산하여 작성한 최종 결과이다. 각 불확도 요인에 대한 표준불확도를 계산하고, 계산한 표준불확도에 감도계수를 곱해서 불확도 기여량을 구한 뒤, 합성표준불확도를 계산한다. 불확도 기여량을 통해서 각 불확도 요인이 전체 측정불확도에 얼마나 영향을 미치는지 알 수 있는데, 압전 구동 정밀 스테이지로 인한 불확도는 불확도 기여량이 0.0098로 측정량에 가장 적은 영향을 주는 것으로 확인했다. 이 때, 간섭계 내부 요인으로 인한 측정불확도 [u(sm)]는 레이저 파장 불확도, 위상 이동 간섭법 불확도, 그리고 반복 측정 불확도를 합산해서 계산한다. 계산한 간섭계 내부 요인의 측정불확도와 조각거울 실험 시 사용한 압전 구동 정밀 스테이지의 측정 불확도를 합산하면 최종 합성표준불확도를 얻을 수 있다. 합성표준불확도에 포함인자 k = 2를 곱해 신뢰도 95% 구간에 대한 확장불확도를 계산하면, 최종 확장불확도는 1.6 nm로, 이를 통해 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 측정값인 표면 초점오차가 −1.6 nm~+1.6 nm 사이에서 변동함을 알 수 있다. 이 값을 식 (9)를 통해 조각거울의 광축방향 변위 오차로 변환하면 0.8 mm이다. 즉, 피조 간섭계로 측정한 표면 초점오차에 1.6 nm만큼의 변동이 있으므로 표면 초점오차를 통해 계산한 광축방향 변위 오차도 −0.8 mm~+0.8 mm 범위에서 변동함을 알 수 있다. 따라서 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 0.8 mm 이상의 광축방향 변위 오차 측정이 가능함을 확인했다.

Table 3 Uncertainty budget

SymbolSource of uncertaintyStandard uncertainty u(xi)Sensitivity coefficient ciUncertainty contribution |ci|u(xi)Probability distributionDegrees of freedom
u(sm)Measurement uncertainty-10.81Trapezoidal-
u(sm,λ)Wavelength0.3010.30Rectangular
u(sm,PSI)Phase shifting interferometry0.6510.65Rectangular
u(sm,rpt)Repeated observations0.3910.39Triangular19
u(sPI)Piezo actuator uncertainty1.40.00180.0098Normal99
uc(st)Combined standard uncertainty--0.81-41,000
UExpanded uncertainty--1.6--

본 논문에서는 광학계 평가용 간섭계 중 하나인 피조 간섭계를 사용해서 인접한 조각거울 간의 조각거울 광축방향 정렬오차 측정을 위한 기초 연구로 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정한계와 측정불확도를 규명했다. 수식을 통해 간섭계의 표면 초점오차와 조각거울 광축방향 변위 오차의 관계를 도출하였고, 도출한 식을 통해 R/5.5인 조각거울을 사용할 경우 광축방향 변위 오차가 1 mm 증가할 때 간섭계가 측정하는 표면 초점오차는 2.04 nm 증가하는 것을 확인했다. 또한 R/#가 증가할수록 간섭계가 측정하는 표면 초점오차의 변화율이 줄어듦을 확인했다. 수식의 타당성을 검증하기 위해서 0–100 mm 범위에서 1 mm와 2 mm 간격으로 조각거울의 광축방향 변위 오차를 증가시키며 피조 간섭계로 측정했고, 측정값을 앞서 도출한 수식과 비교했다. 두 값이 오차범위 11% 이내에서 동일한 값을 보여 도출한 수식을 통한 실험 측정값 예측을 할 수 있음을 알 수 있지만, 이론값과 실제 실험값에 불규칙적인 오차가 존재함을 확인하고 해당 실험만으로 광축방향 변위 오차 측정한계를 규명할 수 없다고 판단하였다. 그래서 실험 데이터를 기반으로 측정불확도를 계산했고, 이를 불확도 총괄표로 나타낸 결과, 피조 간섭계의 표면 초점오차 측정불확도는 1.6 nm이고, 광축방향 변위 오차의 측정불확도는 0.8 mm로 확인했다. (포함인자 k = 2, 신뢰수준: 약 95%) 즉, 피조 간섭계로 직경 72 mm, 곡률반경 400 mm의 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정할 경우, 표면 초점오차는 1.6 nm의 측정불확도를 가지며, 이 값을 앞서 도출한 수식에 대입하면 광축방향 변위 오차는 0.8 mm의 구간에서 측정불확도를 가짐을 알 수 있다. 따라서 본 논문에서 광학계 평가용 피조 간섭계가 조각거울의 광축방향 변위 오차를 0.8 mm 수준으로 분해가능함을 확인했기 때문에, 향후 피조 간섭계로 복수 조각거울의 광축방향 정렬오차 측정 시 각 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정하고 측정된 표면 초점오차값에서 광축방향 변위 오차를 계산함으로써 마이크로미터 수준의 초기 정렬에 적용 가능할 것으로 보인다.

이 논문은 2022년도 정부(과학기술정보통신부)의 신소재 전개형 조각거울 및 위상측정기술 개발 사업으로 한국연구재단의 지원을 받아 연구되었음(NRF-2021M1A3B8077122).

본 연구의 결과 분석 및 생성된 데이터는 모두 본 논문 내 명시되어 있으며 공공의 이용이 가능하다. 데이터에 접근하거나 사용하고자 하는 이는 저자에게 타당한 이유를 밝히고 허가를 득해 사용 가능하다.

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Article

연구논문(Research Paper)

2023; 34(1): 22-30

Published online February 25, 2023 https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Copyright © Optical Society of Korea.

Measurement of the Axial Displacement Error of a Segmented Mirror Using a Fizeau Interferometer

Ha-Lim Jang1,2, Jae-Hyuck Choi2, Jae-Bong Song2, Hagyong Kihm1,2

1Department of Science of Measurement, University of Science and Technology, Daejeon 34113, Korea
2Space Optics Team, Advanced Instrumentation Institute, Korea Research Institute of Standards and Science, Daejeon 34113, Korea

Correspondence to:hkihm@kriss.re.kr, ORCID: 0000-0002-3992-0758

Received: January 13, 2023; Revised: February 1, 2023; Accepted: February 3, 2023

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract

The use of segmented mirrors is one of the ways to make the primary mirror of a spaceborne satellite larger, where several small mirrors are combined into a large monolithic mirror. To align multiple segmented mirrors as one large mirror, there must be no discontinuity in the x, y-axis (tilt) and axial alignment error (piston) between adjacent mirrors. When the tilt and piston are removed, we can collect the light in one direction and get an expected clear image. Therefore, we need a precise wavefront sensor that can measure the alignment error of the segmented mirrors in nm scale. The tilt error can be easily detected by the point spread image of the segmented mirrors, while the piston error is hard to detect because of the absence of apparent features, but makes a downgraded image. In this paper we used an optical testing interferometer such as a Fizeau interferometer, which has various advantages when aligning the segmented mirror on the ground, and focused on measuring the axial displacement error of a segmented mirror as the basic research of measuring the piston errors between adjacent mirrors. First, we calculated the relationship between the axial displacement error of the segmented mirror and the surface defocus error of the interferometer and verified the calculated formula through experiments. Using the experimental results, we analyzed the measurement uncertainty and obtained the limitation of the Fizeau interferometer in detecting axial displacement errors.

Keywords: Artificial satellite, Axial displacement error, Defocus, Segmented mirror

I. 서 론

고해상도 우주용 관측 위성에 대한 수요가 증가함에 따라, 대형 주반사경 제작 기술의 필요성이 커지고 있다. 광학위성은 대부분 반사식 광학계로 구성되어 있으며, 분해능과 집광 효율이 주반사경의 크기에 비례하기 때문에 고해상도 관측 위성의 광학 성능을 높이기 위해 대형 주반사경 제작이 필수적이기 때문이다. 하지만 주반사경의 직경이 3 m를 초과하면 거울의 무게가 기하급수적으로 증가하고, 제작 및 가공이 어렵다. 이러한 이유 때문에 다수의 조각거울(segmented mirror)을 나열해서 하나의 거대한 단일 거울로 작동시키는 대형 주반사경 기술이 필요하다. 조각거울을 사용하면 각 거울의 무게가 크게 증가하지 않고, 우주로 운송할 경우에도 주반사경 자체를 접었다 펼 수 있다[1]. 이 때 각 조각거울은 x, y축 기울기 오차와 인접한 조각거울 사이의 높이 차이인 광축방향 정렬오차 문제를 갖는다. 이 문제를 해결하지 못하면 조각거울에서 반사된 빛이 각각 다른 위상을 가지게 되어 좋은 화질을 기대하기 어렵기 때문에 조각거울 기술의 핵심은 나노미터 수준의 정확한 정렬이다[2,3]. 따라서 각 조각거울의 파면을 측정하고, 거울의 이탈 정도를 나노미터 단위로 알려주어 위상 상태를 실시간으로 측정할 수 있는 파면 센서가 필요하다[4].

현재 개발된 조각거울 정렬오차 측정 방법은 다양한 파면 측정 방법을 기반으로 한다. 간섭계 기반의 정렬오차 측정 방법은 두 인접한 조각거울의 파면을 간섭시켜 얻은 간섭무늬를 분석해서 조각거울의 정렬오차 정보를 얻는다. 다른 방법과 비교해서 기울기 정렬오차와 광축방향 정렬오차를 동시에 측정할 수 있다는 장점이 있으며, 높은 정확도를 가진다[5,6]. 광축방향 정렬오차에 대한 정보를 늘리기 위해 분산 광학 소자 센서(dispersed fringe sensor)를 이용해 간섭무늬를 분석하는 방법도 있다[7,8]. 이 방법은 간섭계 측정 방법에 비해 비교적 넓은 측정가능 범위를 보여주지만, 분산 광학 소자를 정렬하는 데 번거로움이 있다. 이 문제를 해결하고자 파장을 실시간으로 바꿀 수 있는 필터를 사용해 분산된 간섭무늬를 얻는 방법도 소개되었다[9]. 간섭무늬 분석의 한계를 해결하고자 분산 광학 소자 센서와 인공 별을 이용한 이미지 분석 기반의 방법을 함께 사용하기도 하며[10], 측정용 현미경에서 주로 사용하는 방법인 저니케 위상 대비 센서(Zernike phase contrast sensor)를 사용해서 광축방향 정렬오차를 넓은 측정가능 범위로 감지하는 방법과 인공 지능을 이용해서 광축방향 정렬오차와 기울기 오차가 섞여 있는 복잡한 데이터에서 연결점을 찾아 정렬오차를 분석하는 방법도 제안되었다[11,12]. 기존 거울 파면을 측정하는 데 주로 쓰이는 피라미드 센서(pyramid sensor)와 곡률 센서(curvature sensor)를 이용한 측정 방법은 간단한 광학 정렬로 조각거울의 정렬오류를 측정할 수 있다는 장점이 있다. 피라미드 센서를 이용한 방법은 광축방향 정렬오차와 기울기 오차의 신호 차이를 통해 구분하여 정렬하며, 곡률 센서를 통한 조각거울 정렬 방법은 전체 조각거울에 대한 정보를 얻고 그 정보에서 광축방향 정렬오차와 기울기 오차를 분석한다[13,14]. 측정 대상의 편평도를 측정하는 층밀리기 편향법(sheared deflectometry)을 이용한 조각거울의 정렬오류를 분석하는 방법도 개발되었다[15]. 기존 파면 분석 센서로 쓰이는 샥-하트만 센서(Shack-Hartmann sensor)를 통한 측정 방법은 해당 센서가 광축방향 정렬오차보다 기울기 오차에 더 민감한 단점을 극복하기 위해 간섭계와 함께 사용하여 조각거울의 정렬오차를 측정하는 방법이 고안되었다[16,17].

소개된 여러 파면 센서 기반 방법 중 본 논문에서 주목한 방법은 간섭계 기반 측정 방법이다. 간섭계 기반 측정 방법은 지상에서 초기 정렬 시 모든 조각거울에 대해 빠르고 정확하게 정렬오차를 측정할 수 있고, 기울기 오차와 광축방향 정렬오차를 동시에 측정할 수 있다는 장점이 있기 때문이다. 하지만 기존 개발된 간섭계 기반 조각거울 정렬오차 측정 방법은 대부분 조각거울 정렬오류 측정만을 위해 구성한 간섭계를 사용하기 때문에 정렬이 복잡하며, 사용 접근성 또한 낮다. 이러한 단점을 극복하고, 간섭계의 장점을 활용할 수 있는 방법은 광학계 평가용 간섭계를 사용해서 조각거울의 정렬오차를 측정하는 것이다. 광학계 평가용 간섭계 기반 측정 방법은 지상에서 조각거울 초기 정렬 시 정렬오차를 쉽게 측정할 수 있을 뿐만 아니라 중력 및 구동에 의한 거울면 왜곡까지 측정 가능하다. 또한 상용화된 간섭계 사용으로 사용접근성이 높으며, 교정이 쉬워 국가 표준 및 국제 표준에 대한 지속적인 품질관리가 가능하고, 기계적인 측정 방법과 구동기 등에 상호 소급성을 유지할 수 있다. 하지만 이러한 장점에도 불구하고 지금까지 광학계 평가용 간섭계를 사용한 조각거울의 정렬오차의 측정오차 한계 규명 및 측정불확도에 대한 연구가 없다. 따라서 본 논문에서는 대표적인 광학계 평가용 간섭계인 피조 간섭계(Fizeau interferometer)를 이용한 복수 조각거울의 초기 정렬을 위한 기초 연구로서 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정하고, 측정값을 통해 측정불확도를 계산하여 측정오차의 한계를 규명한다.

조각거울 초기 정렬은 수십–수백 mm의 광축방향 정렬오차를 수 mm 수준으로 줄이는 과정으로, 나노미터 수준으로 광축방향 정렬오차를 줄이는 미세 정렬의 전 단계를 말한다. 대부분의 조각거울 측정 방법은 광축방향 정렬오차의 측정 정확도가 높을수록 측정가능 범위는 좁아지는 특징을 가지기 때문에, 초기 정렬을 통해서 광축방향 정렬오차를 마이크로미터 수준으로 낮추는 단계가 필요하다. 이 때, 정렬오차 중 기울기 오차는 각 조각거울의 반사된 빛의 point spread function (PSF)을 통해 쉽게 확인할 수 있는 반면, 광축방향 정렬오차는 최종 이미지의 품질을 저하시키지만 PSF에서 뚜렷한 변화가 없기 때문에 기울기 오차와 동일한 방법으로 측정할 수 없다. 이는 지금까지 개발된 조각거울 정렬오차 측정 방법들이 기울기 오차가 아닌 광축방향 정렬오차 측정에 집중되어 있는 이유이며, 같은 이유로 본 논문에서도 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차의 측정오차 한계를 규명했다. 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정은 광축방향 변위 오차가 부과된 방향을 알 수 있기 때문에 인접한 두 조각거울의 상대적인 광축방향 정렬오차만을 측정하는 파면 센서에 구동 방향에 대한 정보를 줄 수 있다. 또한 여러 조각거울의 정렬 시, 각 조각거울의 절대적인 광축방향 변위 오차를 알 수 있기 때문에 측정오차 한계 내에서 정렬이 가능하다. 이는 복수 조각거울의 광축방향 정렬오차 측정의 기초 연구로서 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차의 측정오차 한계 규명이 중요한 이유이다.

먼저 2장에서는 수식을 통한 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차의 관계를 도출하고, 3장에서 도출한 수식의 타당성을 검증하기 위해 조각거울의 광축방향 변위 오차를 1 mm, 2 mm 간격으로 증가시키며 간섭계로 측정한다. 실험 결과를 4장에 그래프로 나타냈으며, 5장에서는 실험 측정값을 이용해서 측정불확도를 계산한 후 불확도 총괄표로 나타냈다. 불확도를 계산한 결과, 피조 간섭계는 직경 72 mm, 곡률반경 400 mm의 조각거울에 대해서 0.8 mm 이하의 조각거울 광축방향 변위 오차를 측정할 수 없음을 알 수 있었다.

II. 단일 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계 표면 초점오차(defocus)의 관계

수식을 이용한 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차의 관계식 도출을 위해서는 두 단계가 필요하다. 먼저 거울 공식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 초점오차 변화량에 대한 수식을 계산하고, 곡률반경 변화율과 조각거울 광축방향 변위 오차의 관계를 나타낸다. 그리고 앞서 계산한 두 수식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 간섭계의 표면 초점오차 관계식을 얻는다.

먼저 조각거울 광축방향 변위 오차에 따른 초점오차의 변화량을 거울 공식을 이용해서 그림 1에 나타냈다. 그림 1은 피조 간섭계에서 투과 기준구면(transmission sphere)을 통과한 빔이 조각거울의 곡률반경(radius of curvature, RoC) 중심에서 출발하여 반사된 후 돌아올 때, 조각거울 광축방향 변위 오차가 z축 방향으로 d만큼 증가할 경우 초점오차의 변화량(Δz)을 보여준다. 그림 1에서 R은 조각거울의 곡률반경, a는 곡률반경 중심에서 조각거울까지의 거리, b는 반사된 빔에서 조각거울까지의 거리를 의미한다. 피조 간섭계에서 빔은 곡률반경 중심에서 출발하기 때문에 a = b = −R을 만족하며, 이를 이용해서 거울 공식(1/a + 1/b = −2/R = 1/f)을 미분한 후 정리하면 Δa와 Δb의 관계를 식 (1)과 같이 표현할 수 있다. 식 (1)에서 Δa = −d이기 때문에, 식 (2)와 같이 초점오차의 변화량을 조각거울 광축방향 변위 오차(d)로 나타낼 수 있다. 이후 동일한 거울 공식을 이용해서 조각거울 광축방향 변위 오차와 곡률반경 변화율의 관계를 도출한다. 거울 공식을 곡률반경 R에 대해 편미분하면 식 (3)과 같고, 초점 이동량 Δb = Δz이므로, 식 (2)를 이용하여 식 (4)를 도출할 수 있다.

Figure 1. Relationship between axial displacement error and defocus. RoC, radius of curvature.

Δb=b2a2Δa=Δa

Δz=ΔbΔa=2Δa=2δ

bR=2a2(2aR)2=2R2R2=2

ΔR=12Δz=122δ=δ

두 번째로 간섭계가 측정하는 파면 처짐 변화율(wavefront sag change, Δs)과 파면 초점 변화율(wavefront focus shift, ΔR)의 관계를 그림 2에 나타냈다[18]. 파면 처짐 방정식은 식 (5)와 같고, R과 K는 각각 곡률반경과 비구면 상수(conic constant)를 의미한다. 이 때 구면 거울의 경우 K = 0, r = D/2을 만족하기 때문에 식 (6)과 같이 정리할 수 있다. 식 (6)에서 파면 초점 변화율에 대한 파면 처짐 변화율을 구하기 위해서 편미분한 후 정리하면 식 (7)과 같이 파면 처짐 변화율(Δs)을 파면 초점 변화율(ΔR)에 대한 식으로 표현할 수 있다.

Figure 2. Relationship between wavefront focus shift ΔR and wavefront sag change Δs. RoC, radius of curvature.

s=1K+1RR2(K+1)r2

s=RR2D2/4

Δs=ΔR111A , where A=D24R2

피조 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차(surface defocus error, Z4)는 간섭계 측정 시 환산 계수(scale factor)를 0.5로 설정했을 때 파면 처짐 변화율의 0.5배이기 때문에 식 (8)의 관계를 갖는다. 따라서 식 (7)은 앞서 구한 파면 초점 변화율(ΔR)과 조각거울 광축방향 변위 오차(d)의 관계식인 식 (4)를 이용해서, 간섭계에서 측정하는 표면 초점오차(Z4)와 조각거울 광축방향 변위 오차(d)의 관계식인 식 (9)로 나타낼 수 있다.

surface defocus error Z4 = 12wavefront sag = Δs2

Z4=Δs2=ΔR2111A=12δ111A

위 수식을 통해 첫 번째로 알 수 있는 것은 조각거울 광축방향 변위 오차(d)에 따른 간섭계 표면 초점오차(Z4)의 이론값이다. 실험에 사용할 R/5.5 (R-number = R/D)의 조각거울에 대한 간섭계의 표면 초점오차 이론값을 확인하기 위해 R/5.5를 식 (9)에 대입하면, 조각거울 광축방향 변위 오차가 1 mm일 때, 표면 초점오차는 0.00204 mm (2.04 nm)만큼 증가함을 알 수 있다. 즉, 조각거울의 광축방향 변위 오차는 마이크로미터 단위로 변화하는 데 반해 측정한 표면 초점오차는 나노미터 수준으로 변화율이 상대적으로 매우 작음을 알 수 있다. 두 번째로 간섭계가 측정하는 표면 초점오차는 조각거울의 곡률반경과 직경에 따라 달라진다는 것을 알 수 있다. 그림 3은 조각거울의 광축방향 변위 오차가 1 mm일 때, R/#에 따른 표면 초점오차의 변화를 나타낸다. 그림 3(a)는 같은 광축방향 변위 오차를 가짐에도 불구하고 R/#가 증가함에 따라 간섭계의 표면 초점오차값이 점점 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 그림 3(b)는 특정 R/#에 대해 광축방향 변위 오차가 증가함에 따른 표면 초점오차 변화율을 나타낸 것으로, 높은 R/#를 갖는 조각거울일수록 광축방향 정렬오차에 대한 표면 초점오차의 변화율이 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 이는 높은 R/#를 갖는 조각거울을 광학계 평가용 간섭계로 측정할 때 불확도가 더 커짐을 의미한다.

Figure 3. Surface defocus errors (a) when the axial displacement error is 1 mm and (b) when the axial displacement error changes for different R/#.

III. 간섭계를 이용한 표면 초점오차 측정

앞서 도출한 식의 타당성을 검증하고, 간섭계를 통해 측정할 수 있는 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 한계를 분석하기 위해서 그림 4와 같이 구성했다. 실험 구성은 Zygo사의 직경 4인치 피조 간섭계, f/3.3 (f-number = f/D)인 투과 기준구면, 조각거울, 그리고 정렬을 위한 5축 수동 스테이지(5-axis manual alignment stage)와 조각거울에 광축방향 변위 오차를 부과하기 위한 압전 구동 정밀 스테이지(piezo actuator)로 이루어진다. 실제 실험에서는 그림 5(a)에서 보이는 것과 같이 펠리클(pellicle)을 추가로 배치하여 간섭무늬의 가시도가 높아지도록 구성했고, 실험에 사용한 조각거울의 곡률반경과 지름은 각각 400 mm, 72 mm (R/5.5)이다. 실험은 광축방향 변위 오차를 0–100 mm 범위에서 1 mm와 2 mm 간격으로 증가시키며 각각 2번 반복 측정했고, 분석 데이터로 사용한 측정값은 그림 5(b)의 피조 간섭계의 실행 프로그램에서 표면 초점오차에 해당하는 Coef 3이다. 그림 5(b)에서 Coef는 파면의 형상을 나타내는 저니케 다항식(Zernike polynomial)의 각 수차에 대한 계수를 나타낸다. Coef 0은 0차 수차로, 측정 이미지의 크기에 영향을 주지만 이미지 품질에는 영향을 미치지 않는 기본 수차이다. Coef 1과 Coef 2는 각각 x축과 y축 기울기 오차(Tilt X, Tilt Y)를 의미하며, Coef 4와 Coef 5는 각각 x축과 y축 비점수차(Astigmatism X, Astigmatism Y)를 의미한다[19].

Figure 4. Configuration of segmented mirror measurement using a Fizeau interferometer.

Figure 5. (a) Experimental setup using a Fizeau interferometer. (b) Used data (Coef 3, surface defocus error) from the Fizeau interferometer.

IV. 실험 결과

그림 6은 조각거울 광축방향 변위 오차가 증가함에 따른 피조 간섭계가 측정한 표면 초점오차의 실험 결과이다. 측정값은 2회 반복 측정한 결과의 평균값을 나타냈고, 측정값을 식 (9)의 이론값과 Code-V의 시뮬레이션 값과 비교하기 위해서 모든 결과를 함께 표현했다. 먼저 식 (9)를 검증하기 위해서 측정값과 두 값을 비교한 결과, 이론값과 측정값은 11% 오차범위 내에서, Code-V 시뮬레이션 값과 측정값은 9.9% 오차범위 내에서 일치함을 보여 앞서 도출한 식으로 실제 실험값을 예측할 수 있다는 것을 확인할 수 있다. 하지만 측정값과 이론값 사이에는 불규칙한 오차가 존재함을 볼 수 있다. 이는 그림 6(a)에서 뚜렷하게 나타나며, 그림 6(b)에서는 측정값이 급격하게 하락하는 구간도 존재한다. 따라서 전체 측정값이 식 (9)의 이론값과 같은 경향은 띄지만 간섭계 측정 시 측정값에 영향을 주는 요인들로 인해 측정값을 신뢰하기 어려움을 알 수 있다.

Figure 6. Fizeau interferometer surface defocus error obtained with increasing the axial displacement error (a) at 1 mm interval and (b) at 2 mm interval.

추가 실험으로 측정값의 변동성을 확인하기 위해서 조각거울의 광축방향 변위 오차가 1 mm, 2 mm, 3 mm, 4 mm일 때의 표면 초점오차를 각각 120번 왕복 측정하고, 측정값의 평균값과 표준 편차를 표 1에 정리했다. 1 mm 왕복 실험의 경우 표준 편차가 실험 평균값보다 크므로, 측정값의 변동성이 커 실험 결과만으로 간섭계의 측정한계를 결정지을 수 없음을 알 수 있다. 따라서 측정불확도 계산을 통해서 피조 간섭계의 조각거울 광축방향 변위 오차 측정 한계를 확인하고자 2 mm 간격 측정값을 이용해 측정불확도를 계산했다.

Table 1 . Measurement of the axial displacement error by using a Fizeau interferometer.

Axial displacement error (mm)1234
Average of defocus (nm)0.9952.2733.6175.082
Standard deviation of defocus (nm)1.5641.6901.7611.793

V. 측정불확도 계산

측정불확도는 충분히 타당성 있는 이유에 의해 측정량에 영향을 미칠 수 있는 값들의 분포를 특성화한 측정값에 관련된 파라미터를 의미한다[20]. 측정불확도를 계산하면 측정값에 영향을 주는 모든 요인들에 대한 평가가 가능하며, 측정값의 신뢰도 또한 알 수 있다. 측정불확도 계산에 필요한 매개변수와 불확도 요인은 표 2에 나타냈다. 표 2의 X는 앞서 실험으로 얻은 측정값의 평균값이며, s는 측정값에 대한 표준 편차이다. 표준 편차는 반복 측정에 의한 불확도 계산 시 사용된다. ci는 감도 계수로, 각 불확도 요인이 합성표준불확도에 어느 정도 기여하는지를 나타낸다. 감도계수는 해당 불확도를 수식으로 표현한 후 (x 변화량/y 변화량)으로 계산되며, 합성표준불확도 계산 시 각 요인의 표준불확도 값에 곱해진다. 표 2의 4개의 불확도 요인은 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정할 때 측정량에 영향을 주는 모든 요인을 정리한 내용이다. u(sm,l)는 간섭계의 레이저 파장에 영향을 주는 불확도 요인을 말하며, 파장 안정도, 대기압 변화에 의한 파장 변화 등 파장 값에 의한 불확도를 포함한다. u(sm.PSI)는 위상이동 간섭법에 의한 불확도를 나타내며, 실험 시 사용한 Zygo 4인치 피조 간섭계에서 파면 측정을 위해 사용하는 13-프레임 선형 위상 이동 간섭 측정법(PSI)에 의한 불확도를 말한다. u(sm,rpt)는 반복 측정 불확도이다. 반복 측정 불확도는 측정값의 표준 편차를 측정 횟수(n)에 대한 자유도(n − 1)의 제곱근(n1)으로 나누어 계산하며, 측정 횟수는 유효자유도를 고려해서 20번으로 정했다. u(sPI)는 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 조각거울에 광축방향 변위 오차를 부과해주는 선형 압전 구동 정밀 스테이지 P-611.1 (PI Korea, Seoul, Korea)에 의한 측정불확도 요인이며, 재현성과 분해능에 의한 측정불확도 수치를 포함한다. 해당 스테이지는 PI 사에서 제공한 문서에 따르면 재현성에서 1s = 2.7 nm을 보이며(100번 반복), 1 nm의 분해능을 갖는다. 조각거울의 압전 구동 정밀 스테이지에 의한 광축방향 구동 시 발생하는 기울기는 저니케 다항식을 통해 분리할 수 있으며, 그 변화량이 매우 작아 무시할 수 있다. uc(st)는 모든 불확도 요인의 표준불확도를 합산하여 얻은 합성표준불확도이다. 합성표준불확도는 요인별 표준불확도를 식 (10)에 대입하여 계산한다. U는 합성표준불확도를 바탕으로 측정값의 95% 신뢰구간을 나타내기 위한 확장불확도이다. 확장불확도는 합성표준불확도에 포함인자(k, coverage factor)를 곱하여 표현하며, 포함인자는 유효자유도에 따라 결정된다. 포함인자는 유효자유도가 10보다 큰 경우 k = 2를 사용하고, 유효자유도(veff)는 산출한 합성표준불확도와 각 요인의 자유도를 고려하여 Welch-Satterthwaite 공식을 통해서 식 (11)과 같이 계산한다[21]. 이때 식 (11)에서 계산한 유효자유도가 충분히 크기 때문에 포함인자 k = 2를 사용해서 확장불확도를 계산했다[22]. 최종 측정불확도는 확장불확도(U)로 나타내며, 표 2의 레이저 파장 불확도 요인과 위상 이동 간섭법에 의한 불확도 요인은 한국표준과학연구원 측정 서비스 기술 절차서 C-01-1-0510-2022 방법에 의거해서 계산했다[23].

. Uncertainty parameters and sources of measurement uncertainty using a Fizeau interferometer.

SymbolParameter and source of uncertainty
XMeasurand (surface defocus error, Z4)
σStandard deviation
ciSensitivity coefficient
u(sm,λ)Uncertainty of laser wavelength
u(sm,PSI)Uncertainty of phase shifting interferometry
u(sm,rpt)Uncertainty of repeated measurement
u(sPI)Uncertainty of piezo actuator
uc(st)Combined standard uncertainty
UExpanded uncertainty


uc2(st)=csm,λ2u2(sm,λ)+csm,PSI2u2(sm,PSI)+csm,rpt2u2(sm,rpt)+csPI2u2(sPI)

veff=uc4(st) i=1n ui 2(st ) vi =2.60.38419+0.009849941000

표 3에 나타낸 불확도 총괄표는 표 2의 모든 불확도 요인을 계산하여 작성한 최종 결과이다. 각 불확도 요인에 대한 표준불확도를 계산하고, 계산한 표준불확도에 감도계수를 곱해서 불확도 기여량을 구한 뒤, 합성표준불확도를 계산한다. 불확도 기여량을 통해서 각 불확도 요인이 전체 측정불확도에 얼마나 영향을 미치는지 알 수 있는데, 압전 구동 정밀 스테이지로 인한 불확도는 불확도 기여량이 0.0098로 측정량에 가장 적은 영향을 주는 것으로 확인했다. 이 때, 간섭계 내부 요인으로 인한 측정불확도 [u(sm)]는 레이저 파장 불확도, 위상 이동 간섭법 불확도, 그리고 반복 측정 불확도를 합산해서 계산한다. 계산한 간섭계 내부 요인의 측정불확도와 조각거울 실험 시 사용한 압전 구동 정밀 스테이지의 측정 불확도를 합산하면 최종 합성표준불확도를 얻을 수 있다. 합성표준불확도에 포함인자 k = 2를 곱해 신뢰도 95% 구간에 대한 확장불확도를 계산하면, 최종 확장불확도는 1.6 nm로, 이를 통해 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 측정값인 표면 초점오차가 −1.6 nm~+1.6 nm 사이에서 변동함을 알 수 있다. 이 값을 식 (9)를 통해 조각거울의 광축방향 변위 오차로 변환하면 0.8 mm이다. 즉, 피조 간섭계로 측정한 표면 초점오차에 1.6 nm만큼의 변동이 있으므로 표면 초점오차를 통해 계산한 광축방향 변위 오차도 −0.8 mm~+0.8 mm 범위에서 변동함을 알 수 있다. 따라서 간섭계로 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정 시 0.8 mm 이상의 광축방향 변위 오차 측정이 가능함을 확인했다.

Table 3 . Uncertainty budget.

SymbolSource of uncertaintyStandard uncertainty u(xi)Sensitivity coefficient ciUncertainty contribution |ci|u(xi)Probability distributionDegrees of freedom
u(sm)Measurement uncertainty-10.81Trapezoidal-
u(sm,λ)Wavelength0.3010.30Rectangular
u(sm,PSI)Phase shifting interferometry0.6510.65Rectangular
u(sm,rpt)Repeated observations0.3910.39Triangular19
u(sPI)Piezo actuator uncertainty1.40.00180.0098Normal99
uc(st)Combined standard uncertainty--0.81-41,000
UExpanded uncertainty--1.6--

VI. 결 론

본 논문에서는 광학계 평가용 간섭계 중 하나인 피조 간섭계를 사용해서 인접한 조각거울 간의 조각거울 광축방향 정렬오차 측정을 위한 기초 연구로 단일 조각거울의 광축방향 변위 오차 측정한계와 측정불확도를 규명했다. 수식을 통해 간섭계의 표면 초점오차와 조각거울 광축방향 변위 오차의 관계를 도출하였고, 도출한 식을 통해 R/5.5인 조각거울을 사용할 경우 광축방향 변위 오차가 1 mm 증가할 때 간섭계가 측정하는 표면 초점오차는 2.04 nm 증가하는 것을 확인했다. 또한 R/#가 증가할수록 간섭계가 측정하는 표면 초점오차의 변화율이 줄어듦을 확인했다. 수식의 타당성을 검증하기 위해서 0–100 mm 범위에서 1 mm와 2 mm 간격으로 조각거울의 광축방향 변위 오차를 증가시키며 피조 간섭계로 측정했고, 측정값을 앞서 도출한 수식과 비교했다. 두 값이 오차범위 11% 이내에서 동일한 값을 보여 도출한 수식을 통한 실험 측정값 예측을 할 수 있음을 알 수 있지만, 이론값과 실제 실험값에 불규칙적인 오차가 존재함을 확인하고 해당 실험만으로 광축방향 변위 오차 측정한계를 규명할 수 없다고 판단하였다. 그래서 실험 데이터를 기반으로 측정불확도를 계산했고, 이를 불확도 총괄표로 나타낸 결과, 피조 간섭계의 표면 초점오차 측정불확도는 1.6 nm이고, 광축방향 변위 오차의 측정불확도는 0.8 mm로 확인했다. (포함인자 k = 2, 신뢰수준: 약 95%) 즉, 피조 간섭계로 직경 72 mm, 곡률반경 400 mm의 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정할 경우, 표면 초점오차는 1.6 nm의 측정불확도를 가지며, 이 값을 앞서 도출한 수식에 대입하면 광축방향 변위 오차는 0.8 mm의 구간에서 측정불확도를 가짐을 알 수 있다. 따라서 본 논문에서 광학계 평가용 피조 간섭계가 조각거울의 광축방향 변위 오차를 0.8 mm 수준으로 분해가능함을 확인했기 때문에, 향후 피조 간섭계로 복수 조각거울의 광축방향 정렬오차 측정 시 각 조각거울의 광축방향 변위 오차를 측정하고 측정된 표면 초점오차값에서 광축방향 변위 오차를 계산함으로써 마이크로미터 수준의 초기 정렬에 적용 가능할 것으로 보인다.

재정지원

이 논문은 2022년도 정부(과학기술정보통신부)의 신소재 전개형 조각거울 및 위상측정기술 개발 사업으로 한국연구재단의 지원을 받아 연구되었음(NRF-2021M1A3B8077122).

이해상충

저자는 본 논문과 관련된 어떠한 이해충돌 사항도 없었음을 밝힌다.

데이터 가용성

본 연구의 결과 분석 및 생성된 데이터는 모두 본 논문 내 명시되어 있으며 공공의 이용이 가능하다. 데이터에 접근하거나 사용하고자 하는 이는 저자에게 타당한 이유를 밝히고 허가를 득해 사용 가능하다.

Fig 1.

Figure 1.Relationship between axial displacement error and defocus. RoC, radius of curvature.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Fig 2.

Figure 2.Relationship between wavefront focus shift ΔR and wavefront sag change Δs. RoC, radius of curvature.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Fig 3.

Figure 3.Surface defocus errors (a) when the axial displacement error is 1 mm and (b) when the axial displacement error changes for different R/#.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Fig 4.

Figure 4.Configuration of segmented mirror measurement using a Fizeau interferometer.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Fig 5.

Figure 5.(a) Experimental setup using a Fizeau interferometer. (b) Used data (Coef 3, surface defocus error) from the Fizeau interferometer.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Fig 6.

Figure 6.Fizeau interferometer surface defocus error obtained with increasing the axial displacement error (a) at 1 mm interval and (b) at 2 mm interval.
Korean Journal of Optics and Photonics 2023; 34: 22-30https://doi.org/10.3807/KJOP.2023.34.1.022

Table 1 Measurement of the axial displacement error by using a Fizeau interferometer

Axial displacement error (mm)1234
Average of defocus (nm)0.9952.2733.6175.082
Standard deviation of defocus (nm)1.5641.6901.7611.793

Uncertainty parameters and sources of measurement uncertainty using a Fizeau interferometer

SymbolParameter and source of uncertainty
XMeasurand (surface defocus error, Z4)
σStandard deviation
ciSensitivity coefficient
u(sm,λ)Uncertainty of laser wavelength
u(sm,PSI)Uncertainty of phase shifting interferometry
u(sm,rpt)Uncertainty of repeated measurement
u(sPI)Uncertainty of piezo actuator
uc(st)Combined standard uncertainty
UExpanded uncertainty

Table 3 Uncertainty budget

SymbolSource of uncertaintyStandard uncertainty u(xi)Sensitivity coefficient ciUncertainty contribution |ci|u(xi)Probability distributionDegrees of freedom
u(sm)Measurement uncertainty-10.81Trapezoidal-
u(sm,λ)Wavelength0.3010.30Rectangular
u(sm,PSI)Phase shifting interferometry0.6510.65Rectangular
u(sm,rpt)Repeated observations0.3910.39Triangular19
u(sPI)Piezo actuator uncertainty1.40.00180.0098Normal99
uc(st)Combined standard uncertainty--0.81-41,000
UExpanded uncertainty--1.6--

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저널정보

Optical Society of Korea

February 2024
Vol.35 No.1

pISSN 1225-6285
eISSN 2287-321X

Title: Korean Journal of Optics and Photonics
Abbreviation: Korean J. Opt. Photon.

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