박막은 광학기기, 반도체 등의 많은 분야에서 활용되고 있어 박막 물질의 개발 및 응용 연구가 활발하다. 특히 최근에는 굴절률이 크면서도 색분산이 적은 물질이 렌즈, 프리즘, 광도파로, 회절 격자 등 다양한 광학 부품에 응용되어 그 중요성이 더욱 커지고 있다^[1-3]. 전통적으로 광학 매질의 색분산을 정량화하는 아베 수(Abbe number)는 가시광 영역을 대표하는 세 파장에서의 굴절률을 사용하여 다음과 같이 정의된다^[4].

여기서 n은 굴절률, 첨자 D, F, C는 각각 나트륨과 수소의 특정 분광선들을 나타낸다. D는 나트륨이 내는 주황색에 가까운 노란색(파장 589.3 nm) 선이다. F와 C는 각각 수소 원자가 내는 파란색(486.1 nm)과 빨간색(656.3 nm) 선을 뜻한다. 흔히 나트륨 D선 대신 헬륨 d선(587.56 nm)을 쓰기도 하는데, 이 역시 노란색이다. (이 때는 V_D 대신 V_d라 쓴다.)

전통적인 아베 수의 정의에서 F선과 C선은 각각 파란색과 빨간색을 대표하지만, D선이나 d선은 분산이 더 가파른 F선보다 C선 쪽에 치우친 노란색이어서 색분산을 효율적으로 표시하지 못하는 단점이 있다. 나트륨이나 수소 방전관보다 효율적인 기체 방전관들을 쉽게 구할 수 있는 최근에는 조금 다른 파장에서의 굴절률을 써서 다음과 같이 아베 수를 정의하는 경우도 있다^[4].

여기서 첨자 e는 수은이 내는 녹색선(546.07 nm)을 나타내며, F′과 C′은 각각 카드뮴이 내는 파란색(480.0 nm)과 빨간색(643.8 nm) 선을 의미한다. 위 두 식으로 구한 아베 수는 대부분의 광학 매질에 대해 크게 다르지 않은 것으로 알려져 있다. 위 식 (1), (2) 중 어떤 것을 사용하든 정해진 세 파장에서 굴절률을 측정하여 아베 수를 구한다.

두께 100 nm 이하의 매우 얇은 박막은 타원 편광계를 이용하여 굴절률을 측정할 수 있고^[2,5], 수 마이크로미터 두께의 박막은 아베 굴절계를 이용하거나 또는 분광 램프 선 대신 레이저를 광원으로 사용하여 도파로 결합법을 통해 측정이 가능하다^[3,6]. 본 연구에서는 통상적으로 필요한 굴절률 측정 장비나 특별한 장치 없이, 간단한 이중 슬릿 간섭 실험만으로 아베 수를 측정할 수 있는 방법을 제안한다. 아베 수의 정의는 굴절률을 포함하지만, 본 연구에서 제안한 방법을 통해 굴절률 값을 측정하지 않고 간섭무늬의 이동으로부터 얻은 위상차 값만으로 아베 수를 나타낼 수 있다. 이렇게 측정한 아베 수를 유기물 제조사(Norland Products)가 제공한 Cauchy 식을 이용하여 계산한 값과 비교함으로써 제안한 측정법의 유효성을 검증하였다.

이 연구에서는 실험의 편의를 위해 앞서 언급한 표준 파장의 빛을 내는 분광 램프 대신 빨간색(R, 633.0 nm), 녹색(G, 532.4 nm), 파란색(B, 440.3 nm) 빛을 내는 세 레이저를 광원으로 사용하였으므로, 아베 수(V_L)를 식 (3)과 같이 재정의하고 이를 앞으로 ‘수정된 아베 수’라고 부르기로 한다.

그림 1은 실험 장치 모식도를 나타내며, 렌즈로 퍼뜨린 레이저 빛을 이중 슬릿(폭 0.3 mm, 간격 3.2 mm)에 통과시켜 두 갈래로 나뉘어 시료에 입사하도록 하였다. 용융 석영 유리 기판 위에 유기물 용액을 스핀 코팅하여 박막 매질로 사용하였고, 시료를 통과한 후 두 빔이 위상차를 가질 수 있도록 코팅된 박막의 일부를 제거하여 단층을 형성하였으며, 슬릿에 의해 나눠진 두 빔이 각각 박막이 코팅된 부분과 박막이 제거된 기판 부분을 지나도록 하였다. 이렇게 박막을 통과하여 퍼지는 회절광을 렌즈를 통해 charge-coupled device (CCD) 위에 Fraunhofer 회절 무늬를 형성하였다^[7].

Figure 1. Schematic of the experimental setup.

기판 위에 박막이 코팅된 부분과 박막이 제거된 기판 부분을 통과한 두 빔 사이의 위상차를 ϕ라 하면, 이중 슬릿을 통과해 스크린에 형성되는 Fraunhofer 회절 무늬의 복사조도(irradiance) 분포는 식 (4)와 같이 주어진다^[7-9].

여기서 $\alpha \equiv \frac{\pi a}{\lambda }\sin \theta , \beta \equiv \frac{\pi b}{\lambda }\sin \theta .$

식 (4)에서 sinc 함수는 sinc(β) = sin(β)/β로 정의되며, a와 b는 각각 두 슬릿 사이의 간격과 각 슬릿의 폭, θ는 회절각, λ는 입사광의 진공 중 파장, I₀는 위상차가 없을 때(β = ϕ = 0) 중심에서의 최대 복사조도이다. 코사인 인자는 각 슬릿의 중심을 통과하는 두 빔의 간섭에 의한 전기장 분포를 나타내고, sinc 함수 인자는 이보다 더 넓은 단일 슬릿의 회절 무늬 포락선(envelope)이다. 통상적인 이중 슬릿 간섭 실험에서는 슬릿의 폭이 간격에 비해 매우 작으므로(a ≫ b) 회절 포락선은 간섭무늬 간격에 비해 매우 넓다. 즉, 그림 2와 같이 중심부에는 거의 비슷한 진폭으로 간섭무늬가 형성되고, 중심에서 멀어지면 sinc 제곱 함수의 포락선 아래에서 간격이 줄어드는 회절 패턴을 보인다. 본 실험에서는 a= 3.2 mm, b= 0.3 mm로 설정하였으며, 그림 2는 위상차 $\varphi =\frac{2}{3}\pi$일 때, 위상차가 없는 경우에 대비한 간섭무늬의 이동을 보여주고 있다.

Figure 2. Calculated diffraction pattern when both beams pass through the bare substrate (solid line), and when one of the two beams passes through the film (dashed line) for a= 3.2 mm, b= 0.3 mm. Dashed lines are calculated for a phase difference of ϕ=23π.

그림 2에서와 같이 무늬(봉우리) 사이의 간격을 D, 박막에 의한 위상차로 인한 무늬의 이동을 S라 하면, 회절각이 작을 경우 위상차는 다음과 같이 간단히 S와 D의 비로 결정된다^[7,8].

실험에서는 항상 S < D이므로, ϕ_meas는 0에서 2π 사이의 값만을 가진다. 따라서 박막의 두께에 비례하는 실제 위상차는 아래 식과 같이 2π 모호성을 가진다.

여기서 m은 박막의 두께에 따라 정해지는 0, 1, 2, 3, …의 정수이며, 3장 실험결과 및 분석에 묘사한 방법으로 구할 수 있다. 단, 이 연구에서는 위상 측정의 불확도를 줄이기 위해 이전 연구^[7,8]에서와 같이 ϕ_meas를 실험에서 얻은 간섭무늬 일부분에서 그림 2와 같이 S와 D를 측정하여 식 (5)로 계산하는 방법을 쓰지 않고, 이 간섭무늬 전체를 식 (4)로 맞추어서(fitting) 결정하였다.

한편, 일반적으로 이 위상차는 박막의 두께와 굴절률에 의해

와 같이 정해지는데, 이 식에서 n은 박막의 굴절률, n_a는 공기의 굴절률이며, d는 박막의 두께이다. 따라서 박막의 굴절률과 공기의 굴절률의 차이는

와 같이 쓸 수 있다. 여기서 첨자 i= R, G, B로, 각각 파장 633.0 nm, 532.4 nm, 440.3 nm의 레이저를 사용하여 측정하였음을 나타낸다. 여기서 공기의 굴절률은 R, G, B 모두에서 n_a = 1.000 (상수)으로 둘 수 있는데, 공기의 굴절률은 파장에 크게 의존하지 않기 때문이다. (표준상태에서 공기의 굴절률은 633 nm에서 1.000271, 440 nm에서 1.000276이다^[10].)

식 (8)을 이용하면 녹색이나 파란색에서의 굴절률을 빨간색에서의 굴절률을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

여기서 ${\gamma }_{G,B}=\frac{{\lambda }_{G,B}{\varphi }_{G,B}}{{\lambda }_R{\varphi }_R},n_a=\mathrm{1.000.}$

즉, 한 파장에서 매질의 굴절률을 알고 있으면 실험에서 측정한 위상차를 사용하여 다른 파장에서의 굴절률을 구할 수 있다. 이 관계는 박막의 두께와 무관하다.

마지막으로 식 (9)의 굴절률 표현식을 이용하면 식 (3)의 수정된 아베 수는 식 (10)과 같이 간단히 계산된다.

이 결과식에서 아베 수는 이중 슬릿 실험의 세 파장에서 측정한 위상차에 의해서만 결정되므로, 이 식으로 아베 수를 구한다면 어느 파장에서건 굴절률을 측정할 필요가 없다는 장점이 있다.

본 실험에 사용한 박막 물질은 Norland Products 사의 투명 광학용 접착제 NOA61이며^[11], 용융 석영 유리 기판(25 mm × 25 mm × 1 mm) 위에 스핀 코팅한 후, 자외선으로 경화시켜 사용하였다. 이 물질을 써서 현실적인 스핀 코팅 속도로 제작 가능한 박막의 대략적인 두께는 0.5–5 µm이다^[8]. 사용한 광원은 He-Ne 레이저(HRS015B, 파장 633.0 nm; Thorlabs, NJ, USA), Nd:YAG 레이저(Samba^TM, 파장 532.4 nm; Cobolt laser Inc., Solna, Sweden), 그리고 반도체 레이저(Compact-440, 파장 440.3 nm; World Star Tech, ON, Canada)이다. 각 레이저의 파장은 분해능이 0.05 nm인 분광분석기(laser spectrum analyzer, LSA) (HighFinesse, Tübingen, Germany)로 측정하였다. 슬릿과 박막 사이의 거리는 10 mm 정도로 가능한 근접시켰다. Lens-1은 배율 20의 대물렌즈이며, Lens-2는 초점거리 ϕ= 150 mm인 색지움 렌즈이다. Lens-1은 폭이 좁은 레이저 빔을 퍼뜨려 이중 슬릿(폭 0.3 mm, 간격 3.2 mm)의 두 슬릿을 동시에 균일하게 비추게 하고, Lens-2는 이중 슬릿을 통과한 빛이 CCD에 Fraunhofer 회절 패턴을 만들도록 한다. Fraunhofer 회절 무늬의 세기 분포는 선형 CCD (CCD-S3600-D, pixel size 8 µm × 200 µm; Alphalas GmbH, Göttingen, Germany)로 기록하였다.

Lens-1에 의해 집광된 점에서 Lens-2까지의 거리 a는 156 mm 정도이며, Lens-2와 CCD 사이의 거리 b는 간섭무늬의 분해능을 높이기 위해 약 4 m가 되도록 하였다(1/a + 1/b = 1/ϕ 만족^[7]). 실험에 사용한 CCD의 pixel 간격은 8 µm이다. Pixel 간격이 작을수록, Lens-2와 CCD 사이 거리가 멀수록 간섭무늬 위상 결정의 분해능이 향상되지만 어느 경우나 한계가 있으므로, 본 연구에서는 분해능을 향상시키기 위해 데이터를 식 (4)에 맞추는 방법을 사용하였는데, 이렇게 하면 무늬 위치를 1 pixel이 아닌 0.03 pixel 정도의 분해능으로 향상시킬 수 있다. 실험은 24 ℃에서 이루어졌으며, 공기의 굴절률은 앞에서 언급한 이유로 1.000을 사용하였다.

먼저, He-Ne 레이저(파장 633.0 nm)를 사용하여 기판 위의 박막 단층과 슬릿을 통과하여 형성된 회절 무늬를 측정하고, 시료를 평행 이동하여 두 빔 모두 기판만을 지나도록 정렬했을 때(즉, 두 빔 사이에 위상차가 없을 때) 측정된 회절무늬와 비교하여 식 (4)를 측정 데이터에 맞추어 위상차 ϕ_R을 구한다. 그 다음, Nd:YAG 레이저(파장 532.4 nm)로 광원을 바꾸고, 앞서 진행한 과정을 동일하게 반복하여 위상차 ϕ_G를 구하고, 다시 반도체 레이저(파장 440.3 nm)로 광원을 바꾼 뒤 동일한 실험과 분석을 통하여 ϕ_B를 구한다(세 실험의 순서는 결과에 영향을 미치지 않는다). 이렇게 구한 위상차는 모두 ϕ_meas이다.

그림 3은 R, G, B, 세 파장에서 CCD로 측정한 이중 슬릿의 회절 세기 패턴을 보여주는데, 각각 경우에서 박막의 위상차로 인한 간섭무늬의 이동을 뚜렷하게 관찰할 수 있다(화살표로 표시). 그림에서 실선은 식 (4)를 데이터에 맞추어 구한 간섭무늬를 나타낸 것이다. 먼저 두 빔이 모두 기판을 통과했을 때는 식 (4)의 위상차 ϕ = 0으로 두고 맞추어 무늬의 중심 위치(pixel)를 구하였다. 그 다음에는 이 중심 위치를 고정하고, 한 빔이 박막을 통과한 무늬를 맞추어 위상차 ϕ_meas를 구하여 표 1의 두 번째 열에 나타내었다. 이 결과로부터 실제 위상차 ϕ를 구하기 위해서는 식 (6)의 2π 모호성 정수 m을 알아야 한다. 여기서는 분산이 매우 크지 않은 물질에서는 식 (7)에 의해 파장과 위상차의 곱 λϕ가 색에 관계없이 거의 일정하다는 사실을 이용하였다. 이 곱을 표 1의 세 번째 열에 나타내었는데, 이들을 모두 같다고 가정하고 식을 풀면 대략적인 두께 범위(1–3 µm) 내에서 m_R, m_G, 그리고 m_B의 정수 값을 얻을 수 있었으며, 그 결과를 표 1의 네 번째 열에 나타내었다. 이렇게 구한 실제 위상차 값들을 표 1의 다섯 번째 열에 나타내었으며, 이 값을 식 (10)을 통해 계산하여 구한 수정된 아베 수를 표 1의 여섯 번째 열에 나타내었다. 이 값은 박막 매질인 Cauchy 식(Norland Products 제공)으로 계산한 수정된 아베 수(표 1의 마지막 열)에 매우 근접한 값임을 확인할 수 있다^[11].

Figure 3. Measured diffraction patterns for (a) 633.0 nm, (b) 532.4 nm, and (c) 440.3 nm lasers, when both beams pass through the bare substrate (circles), and when one of the two beams pass through the film (triangles). The arrows indicate the shifts of the central peaks. Fit results are represented as solid lines. Note that the abscissa scales in (a), (b), and (c) are not identical.

Table 1 . Measured phase differences and Abbe number compared with that calculated from the Cauchy’s formula.

Laser Wavelength	ϕmeas (rad)	λϕ = λϕmeas + 2πmλ	m	ϕ (rad)	Abbe Number (This Experiment)	Abbe Number Calculated From Cauchy’s Formula[12]
632.9 nm (R)	0.205π ± 0.015	0.1297π + 1.2660πmR	2	4.205π ± 0.015	31.2 ± 1.4	31.5
532.4 nm (G)	1.059π ± 0.023	0.5638π + 1.0648πmG	2	5.059π ± 0.023
440.3 nm (B)	0.242π ± 0.019	0.1066π + 0.8806πmB	3	6.242π ± 0.019

표 1의 위상차 ϕ_meas값(중심 값)들은 앞에서 설명했듯이 식 (4)를 간섭무늬 데이터에 맞추어 결정한 값들이다. 이렇게 위상차를 결정할 때 동반되는 불확도를 구하기 위해 식 (4)에서 의도적으로 ϕ_meas값을 δϕ만큼 바꾸고 간섭무늬를 계산하여, 다음과 같이 실험에서 측정한 간섭무늬와의 오차를 계산하였다.

여기서 I는 간섭무늬의 세기이며, 첨자 i는 데이터가 측정된 모든 pixel을 의미한다. ϵ은 δϕ = 0일 때, 즉 맞춤에서 얻은 ϕ_meas값에서 최소가 된다. 그림 4에 R, G, B, 각 파장에서의 1/ϵ을 δϕ의 함수로 나타내었다. 표 1에 나타낸 위상차 결정의 불확도는 이 1/ϵ 그래프가 극대점으로부터 10% 감소하는 지점의 반치폭으로 정하였다^[12]. ϕ는 ϕ_meas에 2πm만 더해졌으므로 불확도는 ϕ_meas와 동일하다.

Figure 4. Inverse of the sum of the squared error (ϵ) caused by the intended shift δϕ from the fit value of the phase difference at (a) 633.0 nm, (b) 532.4 nm, and (c) 440.3 nm.

식 (10)의 수정된 아베 수는 위상과 파장의 함수이므로, 앞서 구한 위상차 불확도를 u(ϕ_i), 파장의 불확도를 u(λ_i)라 하면 아베 수의 불확도는

와 같이 표현된다^[13]. 실험에 사용된 세 레이저의 파장을 측정한 분광분석기의 분해능은 0.05 nm이고, 모든 레이저의 파장 폭은 이 분광분석기로 잴 수 없을 만큼 좁았기 때문에, 파장 폭의 불확도가 전체 불확도에 기여하는 정도는 0.01% 정도로 무시할 수 있을 만큼 작다. 그러면 아베 수의 불확도는 각 파장에서 위상차 측정의 불확도만에 의해 다음 식과 같이 결정된다.

여기서 제곱근 안에 있는 각 항의 편미분은 식 (10)으로부터 아래와 같이 구할 수 있다.

이 값으로부터 구한 최종 아베수의 불확도는 식 (13)에 의해 u(V_L) = 1.4이며, 표 1에 나타내었다.

각 항이 최종 불확도에 기여하는 정도를 평가해 보자. 우선 ϕ_G만의 기여를 보면, 식 (13)을 V_L로 나눈 상대불확도는

로 계산되어, 녹색광 위상차의 상대불확도와 같다. 이 과정에서 식 (10)과 (15)를 사용하였다.

그러나 ϕ_B와 ϕ_R의 불확도 기여도는 이보다 상당히 크다(식 (14)–(16) 참조). 위와 같은 방법으로 ϕ_R만의 기여를 계산해 보면 아래와 같다.

위 식에서 위상차의 상대불확도에 곱해지는 인자를 식 (7)을 사용하여 굴절률로 표시해 보면

이 되는데, 본 연구에서와 같이 굴절률이 1.5 정도 혹은 그 이상인 유리나 박막 매질 중 분산이 크지 않은 매질은 분자에 비해 분모가 매우 작으므로 아베 수의 상대불확도를 크게 증가시키는 요인이 된다.

ϕ_B의 불확도 기여도는 ϕ_R의 경우와 같이 평가할 수 있다[식 (19) 분자가 n_R − 1로 바뀔 뿐이다]. R이나 B에서 굴절률을(하나만) 정확히 측정하여 알고 있다면 이러한 불확도 증가 요인을 개선할 수 있을 것이다.

본 연구에서는 실험의 편의를 위해 R, G, B 색의 레이저들을 사용했지만, Cauchy 식으로부터 구한 식 (1)의 표준적인 아베 수는 42.4로, 본 연구에서 정의한 식 (3)을 통해 도출한 수정된 아베 수 31.2와 상당한 차이를 보인다. 표준적인 아베 수를 얻으려면 나트륨, 수소[식 (1)], 혹은 수은, 카드뮴[식 (2)] 분광 램프를 사용하여 이중 슬릿 실험을 수행해야 할 것이다.

본 연구에서는 이중 슬릿 회절 실험을 통해 파장별로 박막 단층이 만드는 위상차를 측정하여 박막 물질의 수정된 아베 수를 구하였다. 이 방법으로 구한 아베 수를 기존의 Cauchy 식을 통해 구한 아베 수와 비교하였으며, 두 값이 1% 오차 범위에서 일치하는 것을 확인하였다. 본 연구에서 제안한 방법은 기존의 방식과 다르게 굴절률을 측정하지 않고 새로운 광학 매질의 아베 수를 구하는 방법으로 응용될 수 있을 것이다.

레이저 파장의 정밀 측정을 위해 분광분석기(LSA; HighFinesse)를 빌려주신 문한섭 교수님께 감사드린다.

부산대학교 기본연구지원사업(2년).

저자는 본 논문과 관련된 어떠한 이해충돌 사항도 없었음을 밝힌다.

본 연구의 결과 분석 및 생성된 데이터에 접근하거나 사용하고자 하는 이는 저자에게 타당한 이유를 밝히고 허가를 득해 사용 가능하다.